21. Разложите на множители 2x + y + y² - 4x²

Решение:

Перегруппируем члены выражения:

\( y^2 + y + 2x - 4x^2 \)

Попытаемся выделить полный квадрат из \( y^2 + y \), добавив и вычтя \( 1/4 \):

\( (y^2 + y + 1/4) - 1/4 + 2x - 4x^2 \)

\( (y + 1/2)^2 - 4x^2 + 2x - 1/4 \)

Перегруппируем оставшиеся члены:

\( (y + 1/2)^2 - (4x^2 - 2x + 1/4) \)

Выражение в скобках является полным квадратом \( (2x - 1/2)^2 \).

\( (y + 1/2)^2 - (2x - 1/2)^2 \)

Это разность квадратов \( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \), где \( A = y + 1/2 \) и \( B = 2x - 1/2 \).

\( (y + 1/2 - (2x - 1/2)) (y + 1/2 + (2x - 1/2)) \)

\( (y + 1/2 - 2x + 1/2) (y + 1/2 + 2x - 1/2) \)

\( (y - 2x + 1) (y + 2x) \)

Ответ: \( (y - 2x + 1)(y + 2x) \).