217. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное 11; в) $(n-1)(n+3)$ — простое число; г) $n+7<17$; д) $15-n>9$; е) $n(n+1)(n+2)=120$; ж) $\frac{n}{n+7}<\frac79$; з) $\frac38=\frac12(n-4)$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 217. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное…$ Фото задания

217. При каких $n\in\mathbb{N}$ верно предложение: а) $19-n$ — натуральное число, кратное 3; б) $9n+1$ — число, кратное 11; в) $(n-1)(n+3)$ — простое число; г) $n+7<17$; д) $15-n>9$; е) $n(n+1)(n+2)=120$; ж) $\frac{n}{n+7}<\frac79$; з) $\frac38=\frac12(n-4)$?

Accepted Answer

Считаем натуральными положительные целые числа.

а) Числа вида $19-n$ должны быть положительными и делиться на 3. Возможные значения: 18, 15, 12, 9, 6, 3. Поэтому $n=1,4,7,10,13,16$.
б) Требуется, чтобы $9n+1$ делилось на 11. Так как $9n+1\equiv0\pmod{11}$, получаем $n\equiv periodic{?}$. Из $9n\equiv10\pmod{11}$ и $9^{-1}\equiv5\pmod{11}$ следует $n\equiv50\equiv6\pmod{11}$. Ответ: $n=11k+6$, где $k=0,1,2,\ldots$.
в) При $n=2$ произведение равно $5$, простое число. При $n=1$ произведение равно 0, а при $n\ge3$ оба множителя больше 1, значит произведение составное. Ответ: $n=2$.
г) $n+7<17$, значит $n<10$. Ответ: $n=1,2,\ldots,9$.
д) $15-n>9$, значит $n<6$. Ответ: $n=1,2,3,4,5$.
е) Проверяем произведение трёх последовательных чисел: $4\cdot5\cdot6=120$. Ответ: $n=4$.
ж) Поскольку $n+7>0$, умножаем на положительные знаменатели: $9n<7(n+7)$, откуда $2n<49$, то есть $n\le24$. Ответ: $n=1,2,\ldots,24$.
з) $\frac38=\frac12(n-4)$. Умножаем на 2: $\frac34=n-4$, поэтому $n=\frac{19}{4}$, что не является натуральным числом. Натуральных решений нет.

Ответ: а) 1, 4, 7, 10, 13, 16; б) $n=11k+6$, $k\ge0$; в) 2; г) 1–9; д) 1–5; е) 4; ж) 1–24; з) решений нет.