22.1. Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В четырехугольнике АВОС (где С — точка пересечения касательных) сумма углов равна 360°. Углы при точках касания (ВАО и АВО) равны по 90°, так как касательная перпендикулярна радиусу. Угол между касательными равен 72° (угол АСВ, но в данном случае это угол между касательными). Угол АОВ — центральный угол. В треугольнике АОВ, где ОА=ОВ (радиусы), углы при основании равны.

Рассмотрим четырехугольник АВСО, где О — центр окружности, А и В — точки касания, С — точка пересечения касательных. Углы ОАС и ОВС равны 90°, так как касательные перпендикулярны радиусам. Угол АСВ = 72°. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Угол АОВ = 360° - 90° - 90° - 72° = 108°.

В равнобедренном треугольнике АОВ (ОА=ОВ — радиусы), углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36° \).

Ответ: 36