22. (3 балла) Решите уравнение: |3х + 6| = -3x-6

Решение:

Дано уравнение: \( |3x + 6| = -3x - 6 \).

Рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

1. Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.
2. \( 3x + 6 \ge 0 \) → \( 3x \ge -6 \) → \( x \ge -2 \).
3. В этом случае \( |3x + 6| = 3x + 6 \).
4. Уравнение примет вид: \( 3x + 6 = -3x - 6 \).
5. Решим его: \( 3x + 3x = -6 - 6 \) → \( 6x = -12 \) → \( x = -2 \).
6. Полученный корень \( x = -2 \) удовлетворяет условию \( x \ge -2 \). Значит, \( x = -2 \) является решением.
7. Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.
8. \( 3x + 6 < 0 \) → \( 3x < -6 \) → \( x < -2 \).
9. В этом случае \( |3x + 6| = -(3x + 6) = -3x - 6 \).
10. Уравнение примет вид: \( -3x - 6 = -3x - 6 \).
11. Это равенство верно при любом \( x \).
12. Однако, этот случай рассматривается только для \( x < -2 \).
13. Следовательно, все \( x < -2 \) являются решениями уравнения.
14. Объединим решения из обоих случаев: \( x = -2 \) (из Случая 1) и \( x < -2 \) (из Случая 2).
15. Объединяя эти два множества, получаем, что уравнение верно для всех \( x \le -2 \).

Ответ: \( x \le -2 \).