22. Найдите все значения p, при каждом из которых прямая y = px + 2 имеет с графиком функции y = x² + 3 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Приравняем значения функций, чтобы найти абсциссы общих точек:

\(x^2+3=px+2\), то есть \(x^2-px+1=0\).

Чтобы общая точка была ровно одна, квадратное уравнение должно иметь один корень: \(D=p^2-4=0\). Следовательно, \(p=2\) или \(p=-2\).

При \(p=2\): \(x^2-2x+1=0\), поэтому \(x=1\), \(y=4\). Получаем прямую \(y=2x+2\), касающуюся параболы в точке \((1;4)\).

При \(p=-2\): \(x^2+2x+1=0\), поэтому \(x=-1\), \(y=4\). Получаем прямую \(y=-2x+2\), касающуюся параболы в точке \((-1;4)\).

Ответ: p = −2 и p = 2; соответствующие прямые — y = −2x + 2 и y = 2x + 2.