22. Постройте график функции y = (0,5x² + 2x) · |x| / (x + 4). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Функция задана как \( y = \frac{(0.5x^2 + 2x) \cdot |x|}{x + 4} \).

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. Случай 1: \( x \ge 0 \)
   В этом случае \( |x| = x \). Функция принимает вид:
   \( y = \frac{(0.5x^2 + 2x) \cdot x}{x + 4} = \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} \)
   Выделим \( x \) из числителя:
   \( y = \frac{x(0.5x^2 + 2x)}{x + 4} \)
2. Случай 2: \( x < 0 \)
   В этом случае \( |x| = -x \). Функция принимает вид:
   \( y = \frac{(0.5x^2 + 2x) \cdot (-x)}{x + 4} = \frac{-0.5x^3 - 2x^2}{x + 4} \)

Построение графика:

Для построения графика необходимо проанализировать поведение функции на каждом интервале. Заметим, что знаменатель \( x + 4 \) обращается в ноль при \( x = -4 \), следовательно, \( x = -4 \) — вертикальная асимптота.

Анализ поведения функции:

• При \( x \to -4^+ \): \( x \to -4 \) (положительное значение, например, -3.9), \( x+4 \to 0^+ \). Числитель \( -0.5(-4)^3 - 2(-4)^2 = -0.5(-64) - 2(16) = 32 - 32 = 0 \). Поскольку числитель стремится к 0, а знаменатель к 0 с положительной стороны, нужно более детальное исследование (например, разложение на множители или Лопиталь).
• При \( x \to -4^- \): \( x \to -4 \) (отрицательное значение, например, -4.1), \( x+4 \to 0^- \). Аналогично, числитель стремится к 0.

Для определения значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, нужно найти экстремумы функции.

Анализ числителя \( 0.5x^2 + 2x = x(0.5x + 2) \)

Корни числителя: \( x = 0 \) и \( 0.5x + 2 = 0 \rightarrow 0.5x = -2 \rightarrow x = -4 \).

Таким образом, числитель равен нулю при \( x=0 \) и \( x=-4 \).

Перепишем функцию:

При \( x \ge 0 \): \( y = \frac{x^2(0.5x + 2)}{x + 4} \)

При \( x < 0 \): \( y = \frac{-x^2(0.5x + 2)}{x + 4} \)

Исследуем функцию на интервале \( x \neq -4 \).

При \( x = 0 \), \( y = \frac{0(0)}{4} = 0 \). Точка \( (0, 0) \) принадлежит графику.

При \( x = -4 \), функция не определена (вертикальная асимптота).

Для нахождения экстремумов нужно вычислить производную, но это довольно трудоемко. Попробуем проанализировать поведение функции без производной, если возможно.

Анализ при \( x \to \text{±}\\text{∞} \)

При \( x \to \text{+∞} \): \( y \rightarrow \text{+∞} \) (так как \( 0.5x^3 \) растёт быстрее, чем \( x \)).

При \( x \to \text{-∞} \): \( y \rightarrow \text{+∞} \) (так как \( -0.5x^3 \) с отрицательным \( x \) стремится к \( \text{+∞} \)).

Найдем точки пересечения с осью X:

\( y = 0 \) при \( 0.5x^2 + 2x = 0 \) или \( |x| = 0 \).

\( x(0.5x + 2) = 0 \rightarrow x = 0 \) или \( x = -4 \).

\( |x| = 0 \rightarrow x = 0 \).

Таким образом, точки \( x=0 \) и \( x=-4 \) обнуляют числитель. Так как \( x=-4 \) является вертикальной асимптотой, то \( y=0 \) достигается только при \( x=0 \).

Вертикальная асимптота: \( x = -4 \).

Поведение функции около асимптоты:

• При \( x \to -4^+ \) (x > -4, например -3.9): \( |x| = -x = 3.9 \). \( 0.5x^2 + 2x = x(0.5x + 2) \rightarrow -4(0.5(-4)+2) = -4(-2+2) = 0 \). Знаменатель \( x+4 \to 0^+ \). Числитель: \( (0.5(-4)^2 + 2(-4)) \times |-4| = (0.5 \times 16 - 8) \times 4 = (8 - 8) \times 4 = 0 \).
• При \( x \to -4^- \) (x < -4, например -4.1): \( |x| = -x = 4.1 \). Числитель: \( (0.5(-4.1)^2 + 2(-4.1)) \times |-4.1| = (0.5 \times 16.81 - 8.2) \times 4.1 = (8.405 - 8.2) \times 4.1 = 0.205 \times 4.1 = 0.8405 \). Знаменатель \( x+4 \to 0^- \).

Это означает, что при \( x \to -4^- \), \( y \to -\text{∞} \).

При \( x \to -4^+ \), поведение сложнее, но так как \( x=-4 \) — корень числителя, нам нужно посмотреть на кратность корня. */*

Рассмотрим числитель: \( 0.5x^2 + 2x = x(0.5x + 2) \). Корни \( x=0 \) и \( x=-4 \).

Знаменатель: \( x+4 \).

При \( x<0 \): \( y = \frac{-x^2(0.5x+2)}{x+4} \)

При \( x \to -4^- \): \( y = \frac{-(-4)^2(0.5(-4)+2)}{-4+4} = \frac{-16(0)}{0} \). Используем правило Лопиталя или разложим числитель: \( 0.5x+2 = 0.5(x+4) \).

\( y = \frac{-x^2 \times 0.5(x+4)}{x+4} = -0.5x^2 \) при \( x < 0 \) и \( x
e -4 \).

Таким образом, на интервале \( x < 0 \) и \( x
e -4 \), функция совпадает с параболой \( y = -0.5x^2 \).

При \( x \to -4^- \), \( y \to -0.5(-4)^2 = -0.5(16) = -8 \).

При \( x \to -4^+ \), \( y \to -0.5(-4)^2 = -8 \).

Значит, \( x=-4 \) — устранимая особенность, и график функции на \( x<0 \) — это парабола \( y = -0.5x^2 \), но с выколотой точкой в \( x=-4 \). Координата выколотой точки: \( y = -8 \).

При \( x \to \text{+∞} \): \( y = \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} \). Используем деление многочленов или Лопиталя. \( y \to \text{+∞} \).

Найдем первую производную для \( x \neq -4 \) и \( x < 0 \):

\( y = -0.5x^2 \)

\( y' = -x \)

\( y' = 0 \) при \( x = 0 \).

Но мы рассматриваем \( x < 0 \), значит, \( y' < 0 \) для \( x < 0 \).

Это означает, что на интервале \( x < 0 \) (кроме \( x=-4 \)) функция убывает.

Теперь рассмотрим \( x
e 0 \) и \( x
e -4 \).

При \( x > 0 \): \( y = \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} \)

Вычислим производную:

\( y' = \frac{(1.5x^2 + 4x)(x+4) - (0.5x^3 + 2x^2)(1)}{(x+4)^2} \)

\( y' = \frac{1.5x^3 + 6x^2 + 6x^2 + 16x - 0.5x^3 - 2x^2}{(x+4)^2} \)

\( y' = \frac{x^3 + 10x^2 + 16x}{(x+4)^2} = \frac{x(x^2 + 10x + 16)}{(x+4)^2} = \frac{x(x+2)(x+8)}{(x+4)^2} \)

При \( x > 0 \), \( x \) положительно, \( x+2 \) положительно, \( x+8 \) положительно, \( (x+4)^2 \) положительно. Значит, \( y' > 0 \) при \( x > 0 \).

Это означает, что на интервале \( x > 0 \) функция возрастает.

Итого:

• На \( x < 0 \) (кроме \( x=-4 \)): убывает.
• На \( x > 0 \): возрастает.

Функция имеет локальный минимум в точке \( x=0 \), где \( y=0 \).

На интервале \( x < 0 \), график — часть параболы \( y = -0.5x^2 \), с выколотой точкой \( (-4, -8) \).

На интервале \( x > 0 \), график — часть функции \( y = \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} \), которая возрастает от \( (0,0) \) до \( \text{+∞} \).

Нам нужно найти значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком.

Вертикальная асимптота \( x = -4 \).

Минимальное значение функции на \( x < 0 \) (до выколотой точки) — это \( y \to -8 \) при \( x \to -4^- \).

На интервале \( x < 0 \), график функции — это часть параболы \( y = -0.5x^2 \). Минимум этой параболы (если бы не было выколотой точки) был бы в \( x=0 \), \( y=0 \). Значения на этом интервале: \( y \to -\text{∞} \) при \( x \to \text{-∞} \), \( y \to -8 \) при \( x \to -4^- \), \( y = 0 \) при \( x = 0 \).

Таким образом, на интервале \( x < 0 \), значения \( y \) принимают все значения из \( (-\text{∞}, -8) \text{ U } (-8, 0] \).

На интервале \( x > 0 \), функция возрастает от \( y=0 \) до \( \text{+∞} \). Значения \( y \) принимают все значения из \( (0, \text{+∞}) \).

Объединяя интервалы, область значений функции: \( (-\text{∞}, 0] \text{ U } (0, \text{+∞}) = (-\text{∞}, \text{+∞}) \).

Однако, есть нюанс с выколотой точкой. */*

Функция на \( x < 0 \) — это \( y = -0.5x^2 \) с выколотой точкой \( (-4, -8) \).

Функция на \( x > 0 \) — это \( y = \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} \).

Значение \( y = -8 \) достигается на интервале \( x > 0 \) или нет?

\( \frac{0.5x^3 + 2x^2}{x + 4} = -8 \)

\( 0.5x^3 + 2x^2 = -8(x+4) \)

\( 0.5x^3 + 2x^2 = -8x - 32 \)

\( 0.5x^3 + 2x^2 + 8x + 32 = 0 \)

\( x^3 + 4x^2 + 16x + 64 = 0 \)

\( x^2(x+4) + 16(x+4) = 0 \)

\( (x^2+16)(x+4) = 0 \)

\( x^2+16 = 0 \) — решений нет.

\( x+4 = 0 \rightarrow x = -4 \).

Это значение \( x = -4 \) не входит в интервал \( x > 0 \). Значит, значение \( y=-8 \) не достигается на \( x > 0 \).

Значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком — это те значения, которые функция НЕ принимает.

На интервале \( x < 0 \), функция принимает все значения, кроме \( y = -8 \) (из-за выколотой точки).

На интервале \( x > 0 \), функция возрастает от \( y=0 \) (не включая) до \( +\text{∞} \).

Таким образом, значение \( y = -8 \) не достигается на \( x > 0 \).

Значение \( y = 0 \) достигается при \( x=0 \).

Следовательно, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, когда \( m \) равно значению, которое функция не принимает.

Значение \( y = -8 \) не принимается функцией на \( x > 0 \), и это значение выколото на \( x < 0 \).

Значит, \( m = -8 \).

Еще один момент: при \( x > 0 \), \( y = \frac{x(0.5x^2 + 2x)}{x + 4} \). Знаменатель \( x+4 \) никогда не равен 0 при \( x > 0 \). Числитель \( x(0.5x^2+2x) \) равен 0 только при \( x=0 \) (так как \( 0.5x^2+2x = x(0.5x+2) \), второй корень \( x=-4 \)).

Поэтому при \( x > 0 \), \( y > 0 \).

На интервале \( x < 0 \), график — это \( y = -0.5x^2 \) с выколотой точкой \( (-4, -8) \). Диапазон значений здесь \( (-\text{∞}, 0] \) за исключением \( -8 \). То есть \( (-\text{∞}, -8) \text{ U } (-8, 0] \).

На интервале \( x > 0 \), диапазон значений — \( (0, \text{+∞}) \).

Объединяя, мы получаем \( (-\text{∞}, 0] \text{ U } (0, \text{+∞}) \), то есть все действительные числа.

Но это противоречит тому, что \( y=-8 \) не достигается.

Рассмотрим снова \( y = -0.5x^2 \) для \( x<0, x
e -4 \). Максимальное значение на этом интервале приближается к 0 (при \( x \to 0^- \)). Минимальное значение стремится к \( -\text{∞} \) (при \( x \to \text{+∞} \) для \( x<0 \)). То есть \( y \to -\text{∞} \) при \( x \to \text{-∞} \).

График выглядит так:

1. Часть параболы \( y = -0.5x^2 \) для \( x < 0 \), с выколотой точкой \( (-4, -8) \). Эта часть графика находится ниже оси \( OX \) и уходит в \( -\text{∞} \) при \( x \to \text{+∞} \) (для \( x<0 \)).

2. Часть графика для \( x > 0 \) — возрастающая функция, начинающаяся из \( (0,0) \) и уходящая в \( +\text{∞} \).

Функция принимает значение \( y = -8 \) только в выколотой точке \( x = -4 \).

Таким образом, прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, если \( m \) — значение, которое не принимается функцией.

Значение \( y=-8 \) не принимается функцией нигде, кроме выколотой точки.

Тогда, если \( m = -8 \), прямая \( y = -8 \) пересекает график в точке \( x=-4 \), которая выколота. Значит, общих точек нет.

Есть ли другие значения \( m \)?

На \( x < 0 \) мы имеем диапазон \( (-\text{∞}, -8) \text{ U } (-8, 0] \).

На \( x > 0 \) мы имеем диапазон \( (0, \text{+∞}) \).

Объединяя эти диапазоны, мы видим, что значение \( -8 \) не входит в диапазон \( (0, \text{+∞}) \), но входит в диапазон \( (-\text{∞}, 0] \) (исключая саму точку \( -8 \)).

Следовательно, значение \( y = -8 \) является единственным значением, которое функция не достигает на всем своем протяжении, кроме выколотой точки.

Значит, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m = -8 \).

Ответ: \( m = -8 \)