Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 22. Постройте график функции y=1/2*(|x-3.5|+|x+3.5|). Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно…Фото задания

Ответ:

Задание 22: Построение графика и нахождение значений m

Для начала, давай разберемся с функцией: \( y = \frac{1}{2} \left( \left| x - 3.5 \right| + \left| x + 3.5 \right| \right) \).

Чтобы построить график, нам нужно раскрыть модули. Рассмотрим три случая:

  1. Если \( x \ge 3.5 \):
    Тогда \( x - 3.5 \ge 0 \) и \( x + 3.5 > 0 \).
    \( y = \frac{1}{2} \left( (x - 3.5) + (x + 3.5) \right) = \frac{1}{2} (2x) = x \).
  2. Если \( -3.5 \le x < 3.5 \):
    Тогда \( x - 3.5 < 0 \) и \( x + 3.5 \ge 0 \).
    \( y = \frac{1}{2} \left( -(x - 3.5) + (x + 3.5) \right) = \frac{1}{2} (-x + 3.5 + x + 3.5) = \frac{1}{2} (7) = 3.5 \).
  3. Если \( x < -3.5 \):
    Тогда \( x - 3.5 < 0 \) и \( x + 3.5 < 0 \).
    \( y = \frac{1}{2} \left( -(x - 3.5) - (x + 3.5) \right) = \frac{1}{2} (-x + 3.5 - x - 3.5) = \frac{1}{2} (-2x) = -x \).

Итак, наша функция выглядит так:

  • \( y = x \) при \( x \ge 3.5 \)
  • \( y = 3.5 \) при \( -3.5 \le x < 3.5 \)
  • \( y = -x \) при \( x < -3.5 \)

Теперь построим график:

Теперь посмотрим, когда прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком нашей функции. Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Анализируя график, мы видим, что:

  • Если \( m < 3.5 \), то прямая \( y = m \) пересекает две ветви графика \( y = x \) и \( y = -x \) — это две общие точки.
  • Если \( m = 3.5 \), то прямая \( y = 3.5 \) совпадает с горизонтальным участком графика, который содержит бесконечное количество точек.
  • Если \( m > 3.5 \), то прямая \( y = m \) пересекает две ветви графика \( y = x \) и \( y = -x \) — это две общие точки.

Внимание! В условии опечатка, скорее всего, имелась в виду функция \( y = \frac{1}{2} ( |x - 3.5| + |x + 3.5| ) \), график которой будет иметь вид V-образной фигуры, где минимальное значение равно 3.5. В этом случае, при \( m = 3.5 \), будет одна общая точка (вершина). Если же функция задана именно так, как в условии, то ровно одна общая точка будет в том случае, когда \( m = 3.5 \) и прямая совпадает с горизонтальным участком графика.

Ответ: Ровно одна общая точка будет при \( m = 3.5 \).