Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 24. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне AD. Докажите, что М - середина AD.Фото задания

Ответ:

Задание 24: Доказательство того, что точка пересечения биссектрис - середина стороны AD

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачей. Нам нужно доказать, что точка \( M \), где пересекаются биссектрисы углов \( B \) и \( C \) параллелограмма \( ABCD \), является серединой стороны \( AD \).

Что нам дано:

  • Параллелограмм \( ABCD \).
  • \( BM \) — биссектриса \( \angle B \).
  • \( CM \) — биссектриса \( \angle C \).
  • Точка \( M \) лежит на стороне \( AD \).

Что нужно доказать:

  • \( AM = MD \)

Доказательство:

Шаг 1: Используем свойства параллелограмма и биссектрис.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть \( BC \parallel AD \). Также, \( AB \parallel CD \).

Поскольку \( BC \parallel AD \) и \( BM \) — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle ABM = \angle BMA \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BM \).

Так как \( BM \) — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle ABM = \angle MBC \).

Из равенства \( \angle ABM = \angle BMA \) и \( \angle ABM = \angle MBC \) следует, что \( \angle BMA = \angle MBC \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). В нем \( \angle ABM = \angle BMA \), следовательно, этот треугольник равнобедренный с основанием \( BM \). Значит, \( AB = AM \).

Шаг 2: Аналогично рассматриваем биссектрису угла C.

Поскольку \( BC \parallel AD \) и \( CM \) — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle BCM = \angle CMD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( CM \).

Так как \( CM \) — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle BCM = \angle MCD \).

Из равенства \( \angle BCM = \angle CMD \) и \( \angle BCM = \angle MCD \) следует, что \( \angle CMD = \angle MCD \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle CDM \). В нем \( \angle CMD = \angle MCD \), следовательно, этот треугольник равнобедренный с основанием \( CM \). Значит, \( CD = MD \).

Шаг 3: Используем свойства сторон параллелограмма.

В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \( AB = CD \).

Из \( AB = AM \) и \( CD = MD \), а также \( AB = CD \), следует, что \( AM = MD \).

Вывод:

Так как \( AM = MD \), то точка \( M \) является серединой стороны \( AD \). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.