22. Постройте график функции y = 1 - (x+5)/(x^2+5x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Для начала упростим функцию:

\[ y = 1 - \frac{x+5}{x^2+5x} \]

Заметим, что знаменатель
x^2+5x
можно разложить на множители:
x(x+5)
.

\[ y = 1 - \frac{x+5}{x(x+5)} \]

При
x ≠ -5
и
x ≠ 0
мы можем сократить
(x+5)
:

\[ y = 1 - \frac{1}{x} \]

Теперь построим график этой функции. Это гипербола
y = -1/x
, смещенная на 1 единицу вверх.

У этой функции есть две асимптоты: вертикальная
x = 0
и горизонтальная
y = 1
.

Однако, исходная функция имеет ограничения:
x ≠ -5
и
x ≠ 0
. При
x = -5
,
y = 1 - (1/(-5)) = 1 + 1/5 = 6/5
. Значит, в точке
x = -5
будет выколотая точка
(-5, 6/5)
.

Прямая
y = m
является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая не имела общих точек с графиком, она должна быть параллельна горизонтальной асимптоте и проходить через «выколотую» точку.

Горизонтальная асимптота у функции
y = 1 - 1/x
— это
y = 1
.

Однако, условие задачи гласит, что прямая
y = m
не имеет общих точек. Наша функция
y = 1 - 1/x
имеет выколотую точку при
y = 6/5
.

Таким образом, если
m = 1
(горизонтальная асимптота), прямая не пересечет график. Если
m = 6/5
(значение в выколотой точке), прямая также не пересечет график.

Ответ:
m = 1
и
m = 6/5
.