22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

При $x>2$ имеем $y=-(x-4)^2$: это ветвь параболы с вершиной $(4;0)$, причём точка при $x=2$ не входит. При $x\le 2$ график — луч прямой $y=-0.5x-1$, включающий точку $(2;-2)$.

График функции:

Для горизонтальной прямой $y=m$ посчитаем пересечения с каждой частью графика. С лучом прямой имеется одно пересечение при $m\ge -2$, и ни одного при $m<-2$.

Для параболической части уравнение пересечения имеет вид $-(x-4)^2=m$, то есть $x=4\pm\sqrt{-m}$, где $m\le0$. С учётом условия $x>2$: при $-4<m<0$ есть два пересечения; при $m\le-4$ — одно; при $m=0$ — одно; при $m>0$ — ни одного.

Итого ровно два пересечения получаются при $-4<m<-2$ (оба с параболической частью) и при $m=0$ (по одному с каждой частью).

Ответ: $m\in(-4;-2)\cup\{0\}$.

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x&gt;2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+8x-16,&x>2,\\-0{,}5x-1,&x\le 2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.