22. Постройте график функции \(y=\dfrac{1,5|x|-1}{|x|-1,5x^2}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком общих точек.

Положим \(t=|x|\), тогда \(x^2=t^2\), а знаменатель равен \(t-1.5t^2=t(1-1.5t)\). Область определения: \(t\ne0\) и \(t\ne\frac23\), то есть \(x\ne0,\pm\frac23\).

При \(x>0\):

\(y=\dfrac{1.5x-1}{x(1-1.5x)}=-\dfrac1x\), поскольку \(1.5x-1=-(1-1.5x)\). Точка \(x=\frac23\) исключена, хотя сокращение устраняет разрыв в формуле.

При \(x<0\), \(|x|=-x\), поэтому

\(y=\dfrac{-1.5x-1}{-x-1.5x^2}=\dfrac{1.5x+1}{x(1+1.5x)}=\dfrac1x\), причём \(x=-\frac23\) исключено.

Следовательно, график состоит из ветвей \(y=-1/x\) при \(x>0\) и \(y=1/x\) при \(x<0\), с выколотыми точками при \(x=\pm\frac23\). Для пересечения с \(y=kx\) при допустимом \(x\ne0\): справа требуется \(kx=-1/x\), то есть \(k=-1/x^2<0\); слева требуется \(kx=1/x\), то есть \(k=1/x^2>0\). При любом отрицательном или положительном \(k\) соответствующее уравнение имеет допустимое решение, кроме случаев, когда решение — исключённая точка: это \(k=-\frac94\) справа и \(k=\frac94\) слева. При \(k=0\) пересечений тоже нет.

Ответ: \(k\in\left\{-\frac94,\,0,\,\frac94\right\}\).