22. Постройте график функции y = {{-x² + 2x – 3 при х≥ 0, {-x - 3 при х < 0. Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график кусочно-заданной функции.

1. График функции \( y = -x^2 + 2x - 3 \) при \( x \ge 0 \)

• Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный.
• Найдем вершину параболы: \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \).
• \( y_v = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \). Вершина находится в точке \( (1, -2) \).
• Найдем точку пересечения с осью \( y \) (при \( x = 0 \)): \( y = -(0)^2 + 2(0) - 3 = -3 \). Точка \( (0, -3) \).
• Найдем точку пересечения с осью \( x \) (при \( y = 0 \)): \( -x^2 + 2x - 3 = 0 \). Дискриминант \( D = 2^2 - 4(-1)(-3) = 4 - 12 = -8 \). Так как \( D < 0 \), парабола не пересекает ось \( x \).
• Нарисуем часть параболы, начиная с \( (0, -3) \) и проходя через вершину \( (1, -2) \), и далее вправо.

2. График функции \( y = -x - 3 \) при \( x < 0 \)

• Это прямая линия.
• Найдем точку при \( x = 0 \) (хотя сама точка \( x=0 \) не включается, но она показывает направление): \( y = -(0) - 3 = -3 \). Точка \( (0, -3) \).
• Возьмем другую точку, например, при \( x = -1 \): \( y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2 \). Точка \( (-1, -2) \).
• Нарисуем луч, исходящий из точки \( (0, -3) \) и проходящий через \( (-1, -2) \) влево.

Анализ для определения значений \( m \)

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график функции ровно в двух точках.

Рассмотрим полученный график:

• Если \( m > -2 \), прямая \( y = m \) пересекает график ровно в одной точке (с частью параболы).
• Если \( m = -2 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках: в вершине параболы \( (1, -2) \) и в точке \( (-1, -2) \) на прямой.
• Если \( -3 < m < -2 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках: одна точка на параболе и одна точка на прямой.
• Если \( m = -3 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках: \( (0, -3) \) (начало луча) и в некоторой точке на параболе (при \( x=0 \)).
• Если \( m < -3 \), прямая \( y = m \) пересекает график ровно в одной точке (на прямой).

Таким образом, чтобы прямая \( y = m \) имела с графиком ровно две общие точки, значение \( m \) должно быть равно \( -2 \) или находиться в интервале \( (-3, -2) \), или быть равным \( -3 \). Объединяя эти условия, получаем \( m \) в интервале \( [-3, -2] \).

Ответ: Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( m \) таких, что \( -3 \le m \le -2 \).