22. Решите систему уравнений: { x + y^2 = 200, log₁₀(10x) - log₁₀(y) = 2 }

Решение:

1. Преобразуем второе уравнение:
   \( \log_{10}(10x) - \log_{10}(y) = 2 \)
   Используем свойство логарифмов \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c}) \) и \( \log_{10}(10x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x) \).
   \( 1 + \log_{10}(x) - \log_{10}(y) = 2 \)
   \( \log_{10}(x) - \log_{10}(y) = 1 \)
   \( \log_{10}(\frac{x}{y}) = 1 \)
   По определению логарифма:
   \( \frac{x}{y} = 10^1 \)
   \( x = 10y \)
2. Подставим выражение для x в первое уравнение:
   \( x + y^2 = 200 \)
   \( 10y + y^2 = 200 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение:
   \( y^2 + 10y - 200 = 0 \)
   Найдем дискриминант:
   \( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900 \)
   \( \sqrt{D} = 30 \)
4. Найдем значения y:
   \( y_1 = \frac{-10 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10 \)
   \( y_2 = \frac{-10 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \)
5. Найдем соответствующие значения x:
   Если \( y_1 = 10 \), то \( x_1 = 10y_1 = 10 \cdot 10 = 100 \).
   Если \( y_2 = -20 \), то \( x_2 = 10y_2 = 10 \cdot (-20) = -200 \).
6. Проверим условия допустимости для логарифма:
   Второе уравнение содержит \( \log_{10}(y) \) и \( \log_{10}(10x) \). Значит, \( y > 0 \) и \( 10x > 0 \) (что означает \( x > 0 \)).
   Пара \( (100, 10) \) удовлетворяет условиям: \( 10 > 0 \) и \( 100 > 0 \).
   Пара \( (-200, -20) \) не удовлетворяет условиям, так как \( y < 0 \) и \( x < 0 \).

Ответ: x = 100, y = 10.