23. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 см² и 16 см². Найдите площадь трапеции.

Пусть основания трапеции — AD и BC. Поскольку AD ∥ BC, треугольники AOD и BOC подобны: у них равны вертикальные углы при O, а соответствующие углы при параллельных основаниях равны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому отношение их соответствующих сторон равно

\(\sqrt{25:16}=5:4\).

Треугольники AOB и COD имеют общую высоту к параллельным прямым AD и BC, а их основания на этих прямых относятся как 5:4. Кроме того, в трапеции площади треугольников AOB и COD равны: их можно получить из подобия треугольников AOD и BOC, либо воспользоваться отношением площадей при диагоналях, пересекающихся в точке O. Их площадь равна среднему геометрическому площадей AOD и BOC:

\(S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{25\cdot16}=20\text{ см}^2\).

Площадь трапеции — сумма площадей четырёх треугольников, образованных диагоналями:

\(S=25+16+20+20=81\text{ см}^2\).

Ответ: 81 см².