24. Окружности с центрами O и O₁ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что длины этих окружностей относятся как m:n.

Обозначим радиусы окружностей через \(R\) и \(r\), а точку пересечения внутренней общей касательной с отрезком \(OO_1\) — через P. Пусть касательная касается окружностей в точках A и B.

1. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: \(OA\perp AB\) и \(O_1B\perp AB\). Поэтому треугольники OPA и O₁PB прямоугольные.

2. У этих треугольников равны острые углы при P, так как они образованы одними и теми же прямыми OO₁ и AB. Следовательно, треугольники подобны.

3. Из подобия получаем \(OP:PO_1=OA:O_1B=R:r\). По условию \(OP:PO_1=m:n\), значит, \(R:r=m:n\).

4. Длина окружности равна \(2\pi\), умноженному на радиус. Поэтому отношение длин окружностей равно отношению радиусов: \(2\pi R:2\pi r=R:r=m:n\).

Следовательно, длины этих окружностей относятся как \(m:n\).