23. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=8, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС.

Так как окружность проходит через точки B, C, K и P, то четырехугольник BKPC является вписанным. Следовательно, \(\angle\) AKR = \(\angle\) ACB, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Также \(\angle\) A - общий. Значит, треугольники AKR и ABC подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что \(\frac{AK}{AB}\) = \(\frac{AP}{AC}\) = \(\frac{KP}{BC}\). Также по условию AC=1.6*BC, тогда \(\frac{AC}{BC}\)=1.6. Также можем сказать что \(\frac{AP}{AC}\)=\(\frac{AK}{AB}\). Таким образом, \(\frac{KP}{BC}\) = \(\frac{AK}{AB}\). Так как AP лежит на AC, и AK лежит на AB то \(\frac{AK}{AB}\) = \(\frac{AP}{AC}\). Поскольку K и P лежат на окружности, проходящей через B и C, то в четырехугольнике BKPC углы \(\angle\) KBP = \(\angle\) KCP, и \(\angle\) BKC = \(\angle\) BPC. А поскольку \(\angle\) A = \(\angle\) A то \(\frac{KP}{BC}\) = \(\frac{AK}{AC}\). Тогда \(\frac{KP}{BC}\) = \(\frac{8}{1.6BC}\) = \(\frac{8}{1.6}\) \(\frac{1}{BC}\). Откуда KP = \(\frac{8BC}{1.6BC}\) = \(\frac{8}{1.6}\) = 5. Ответ: 5