23. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 2, АС = 8.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, который лежит на стороне \( AC \). Радиус окружности равен \( R \). Так как окружность проходит через вершину \( C \), то \( OC = R \).

По условию, окружность касается прямой \( AB \) в точке \( B \). Это значит, что радиус, проведённый в точку касания \( B \), перпендикулярен касательной \( AB \). То есть, \( OB \perp AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OBA \). В нём \( OB = R \) (радиус окружности).

Центр окружности \( O \) лежит на стороне \( AC \). Так как \( C \) принадлежит окружности, то \( OC = R \). Следовательно, расстояние от \( O \) до \( C \) равно радиусу.

Пусть \( AO = x \). Тогда \( AC = AO + OC \) или \( AC = |AO - OC| \).

Рассмотрим два случая расположения центра \( O \) относительно \( C \):

Случай 1: \( O \) находится между \( A \) и \( C \). Тогда \( AC = AO + OC \), то есть \( 8 = x + R \). Отсюда \( x = 8 - R \).

В прямоугольном треугольнике \( OBA \) по теореме Пифагора имеем: \( AO^2 = OB^2 + AB^2 \) (если \( O \) не совпадает с \( A \)).

Если \( O \) лежит на \( AC \), то \( AO = AC - OC \) если \( O \) между \( A \) and \( C \), или \( AO = OC - AC \) if \( C \) is between \( A \) and \( O \).

Так как \( C \) лежит на окружности, \( OC = R \). Центр \( O \) лежит на \( AC \). Точка \( B \) — точка касания. \( OB \perp AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OBA \). \( OB = R \). \( AB = 2 \). \( AO = |AC - OC| \) или \( AO = AC + OC \).

Если \( O \) на отрезке \( AC \), то \( AO = AC - OC = 8 - R \) (если \( O \) ближе к \( C \) чем \( A \)) или \( AO = OC - AC \) (если \( O \) ближе к \( A \) чем \( C \)).

Учитывая, что \( C \) — точка на окружности, \( OC = R \). Центр \( O \) лежит на \( AC \). Точка \( B \) — точка касания, \( OB \perp AB \). Треугольник \( OBA \) — прямоугольный с гипотенузой \( OA \).

Из того, что \( C \) на окружности, \( OC = R \). Из того, что \( O \) на \( AC \), \( AO = |AC - OC| = |8 - R| \).

Применяем теорему Пифагора к \( \triangle OBA \): \( AO^2 = OB^2 + AB^2 \).

\[ |8 - R|^2 = R^2 + 2^2 \]

\[ (8 - R)^2 = R^2 + 4 \]

\[ 64 - 16R + R^2 = R^2 + 4 \]

\[ 64 - 16R = 4 \]

\[ 16R = 64 - 4 \]

\[ 16R = 60 \]

\[ R = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} \]

Диаметр окружности \( D = 2R = 2 \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{2} = 7.5 \).

Проверим условие \( |8 - R| \). \( |8 - \frac{15}{4}| = |\frac{32 - 15}{4}| = |\frac{17}{4}| = \frac{17}{4} \). \( AO = \frac{17}{4} \).

\( R = \frac{15}{4} \). \( AO = \frac{17}{4} \). \( AC = 8 = \frac{32}{4} \).

Если \( O \) между \( A \) и \( C \), то \( AO + OC = AC \) → \( \frac{17}{4} + \frac{15}{4} = \frac{32}{4} = 8 \). Это верно.

Если \( C \) между \( A \) и \( O \), то \( AO = AC + CO \) → \( \frac{17}{4} = 8 + \frac{15}{4} = \frac{32+15}{4} = \frac{47}{4} \). Неверно.

Если \( A \) между \( O \) и \( C \), то \( OC = OA + AC \) → \( \frac{15}{4} = \frac{17}{4} + 8 \). Неверно.

Следовательно, \( R = \frac{15}{4} \).

Диаметр \( D = 2R = \frac{15}{2} = 7.5 \).

Ответ: 7.5