23. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 25.

Задача 23.

**Понимание условия**:
Мы имеем треугольник ABC, где прямая MN параллельна стороне AC. Прямая MN пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Известны длины MN = 12, AC = 42, и NC = 25. Наша цель — найти длину отрезка BN.

**Использование подобия треугольников**:
Так как MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны.

Следовательно, выполняется следующее соотношение:

$$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$$.

**Нахождение BC**:
Сначала найдем длину стороны BC. Мы знаем, что BC = BN + NC, значит BC = BN + 25

**Замена значений в пропорцию**:
Теперь запишем пропорцию:
$$\frac{12}{42} = \frac{BN}{BN + 25}$$.

**Решение пропорции**:
Упростим дробь слева:
$$\frac{2}{7} = \frac{BN}{BN + 25}$$.

Умножаем крест-накрест:
2 * (BN + 25) = 7 * BN
2 * BN + 50 = 7 * BN
50 = 7 * BN - 2 * BN
50 = 5 * BN
BN = 50 / 5
BN = 10.

**Ответ**: Длина отрезка BN равна 10.