23. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 25.

Задача 23. **Понимание условия**: Мы имеем треугольник ABC, где прямая MN параллельна стороне AC. Прямая MN пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Известны длины MN = 12, AC = 42, и NC = 25. Наша цель — найти длину отрезка BN. **Использование подобия треугольников**: Так как MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, выполняется следующее соотношение: $$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$$. **Нахождение BC**: Сначала найдем длину стороны BC. Мы знаем, что BC = BN + NC, значит BC = BN + 25 **Замена значений в пропорцию**: Теперь запишем пропорцию: $$\frac{12}{42} = \frac{BN}{BN + 25}$$. **Решение пропорции**: Упростим дробь слева: $$\frac{2}{7} = \frac{BN}{BN + 25}$$. Умножаем крест-накрест: 2 * (BN + 25) = 7 * BN 2 * BN + 50 = 7 * BN 50 = 7 * BN - 2 * BN 50 = 5 * BN BN = 50 / 5 BN = 10. **Ответ**: Длина отрезка BN равна 10.