24. Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

Задача 24. **Понимание условия**: У нас есть две окружности с центрами в точках M и N. Эти окружности пересекаются в точках S и T. При этом точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Наша цель — доказать, что прямые MN и ST перпендикулярны. **Обозначения и вспомогательные линии**: Давайте соединим центры окружностей M и N, а также точки пересечения S и T. Получим отрезки MN и ST. Также проведем радиусы MS, MT, NS и NT. **Свойства радиусов**: MS = MT (радиусы окружности с центром M) NS = NT (радиусы окружности с центром N) **Равнобедренные треугольники**: Треугольники MST и NST равнобедренные (по определению равнобедренных треугольников с равными сторонами). **Свойства медианы и высоты в равнобедренном треугольнике**: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Отрезок MN делит ST пополам. Точка пересечения отрезков MN и ST обозначим точкой P. Значит, MP и NP являются медианами в треугольниках MST и NST. Так как MS = MT и NS = NT, MP является высотой в треугольнике MST и NP является высотой в треугольнике NST. Так как ST является общим основанием для этих треугольников то MN является высотой в обоих треугольниках. **Перпендикулярность**: Так как MP и NP являются высотами к отрезку ST, то MN перпендикулярна ST. В следствие медианы, являющимися высотами, угол между MN и ST равен 90 градусам. **Ответ**: Прямые MN и ST перпендикулярны.