23. В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 120°, BC = 13√3. Найдите AC.

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол C:

\[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 30° - 120° = 30° \]

Так как \( \angle A = \angle C = 30° \), то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]

\[ AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{13\sqrt{3} \cdot \sin(120°)}{\sin(30°)} \]

Знаем, что \( \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \).

\[ AC = \frac{13\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 13\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 13 \cdot 3 = 39 \]

Ответ: 39