23. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 60 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Так как ВС = ВМ, треугольник ВСМ равнобедренный. Так как ВМ — медиана, то МС = АС/2 = 60/2 = 30. В равнобедренном треугольнике ВСМ, высота, опущенная из вершины В на основание СМ, делит основание пополам. Но ВН — высота, а М — середина АС. Если ВН = ВМ, то треугольник ВСМ равнобедренный, и высота ВН совпадает с медианой ВМ. Это возможно только если треугольник АВС равнобедренный с АВ = ВС. В этом случае высота ВН также является медианой, то есть Н совпадает с М. Следовательно, АН = АМ = АС/2 = 30.