237. У вас в кармане 7 орехов. Вероятность, что орех будет пустым, равна 0,4. Какова вероятность того, что у вас по крайней мере 3 полных ореха?

Решение: Вероятность того, что орех полный, равна 1 - 0,4 = 0,6. Чтобы найти вероятность, что у вас по крайней мере 3 полных ореха, нужно сложить вероятности для 3, 4, 5, 6 и 7 полных орехов. Это можно вычислить с помощью биномиального распределения. Формула биномиального распределения: $$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ Где: n - общее число испытаний (в данном случае, 7 орехов) k - количество успехов (полных орехов) p - вероятность успеха (вероятность того, что орех полный, 0,6) $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ - число сочетаний Нам нужно вычислить сумму вероятностей для k = 3, 4, 5, 6 и 7: $$P(\text{не менее 3}) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7)$$ $$P(3) = C_7^3 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4^4 = 35 \cdot 0.216 \cdot 0.0256 = 0.193536$$ $$P(4) = C_7^4 \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^3 = 35 \cdot 0.1296 \cdot 0.064 = 0.290304$$ $$P(5) = C_7^5 \cdot 0.6^5 \cdot 0.4^2 = 21 \cdot 0.07776 \cdot 0.16 = 0.2612736$$ $$P(6) = C_7^6 \cdot 0.6^6 \cdot 0.4^1 = 7 \cdot 0.046656 \cdot 0.4 = 0.1306368$$ $$P(7) = C_7^7 \cdot 0.6^7 \cdot 0.4^0 = 1 \cdot 0.0279936 \cdot 1 = 0.0279936$$ $$P(\text{не менее 3}) = 0.193536 + 0.290304 + 0.2612736 + 0.1306368 + 0.0279936 = 0.903744$$ Ответ: Вероятность того, что у вас по крайней мере 3 полных ореха, равна 0.903744.