24.4. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$; в) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)$; г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 24.4. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б)…$ Фото задания

24.4. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$; в) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)$; г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha$.

Accepted Answer

Раскроем синусы и косинусы разностей.

а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha.$

б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right)=-\sin\alpha.$

в) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cos\alpha.$

г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha=\sin\alpha-\cos\alpha-\sin\alpha=-\cos\alpha.$

Ответ: а) $-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$; б) $-\sin\alpha$; в) $\frac12\cos\alpha$; г) $-\cos\alpha$.