24.6. Упростите выражение: а) \(\frac{\sin(\alpha+\beta)-\cos\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta}\); б) \(\frac{\sin(\alpha-\beta)+2\cos\alpha\sin\beta}{2\cos\alpha\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)}\); в) \(\frac{\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta}{\cos(\alpha-\beta)-\sin\alpha\sin\beta}\); г) \(\frac{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}\).

Упростим числитель и знаменатель каждой дроби по формулам суммы и разности.

а) Числитель: \(\sin(\alpha+\beta)-\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta\). Знаменатель: \(\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta\). Поэтому дробь равна \(1\).

б) Числитель: \(\sin(\alpha-\beta)+2\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\). Знаменатель: \(2\cos\alpha\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+\beta)\). Поэтому дробь равна \(\tan(\alpha+\beta)\).

в) Числитель: \(\cos(\alpha+\beta)+\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta\). Знаменатель: \(\cos(\alpha-\beta)-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta\). Поэтому дробь равна \(1\).

г) Числитель: \(\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\). Знаменатель: \(2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)\). Поэтому дробь равна \(\cot(\alpha+\beta)\).

Ответ: а) \(1\); б) \(\tan(\alpha+\beta)\); в) \(1\); г) \(\cot(\alpha+\beta)\).