24.7. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

1. A) \(\frac{(x-2)^2}{x-1} < 0\)

   Так как \((x-2)^2 \ge 0\) для любого x, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \(x-1 < 0\) и \((x-2)^2
   e 0\).

   \(x-1 < 0 \rightarrow x < 1\)

   \((x-2)^2
   e 0 \rightarrow x
   e 2\). Условие \(x < 1\) уже исключает \(x=2\).

   Решение: \(x < 1\). На числовой прямой это интервал \((-\infty; 1)\). Это соответствует решению 1.

2. Б) \(2^{-x} < \frac{1}{2}\)

   Перепишем неравенство: \(2^{-x} < 2^{-1}\).

   Так как основание степени \(2 > 1\), то показатели степени сравниваются в том же порядке: \(-x < -1\).

   Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства: \(x > 1\).

   Решение: \(x > 1\). На числовой прямой это интервал \((1; \infty)\). Это соответствует решению 2.

3. В) \(\log_2 x > 1\)

   Перепишем неравенство: \(\log_2 x > \log_2 2\).

   Так как основание логарифма \(2 > 1\), то аргументы логарифма сравниваются в том же порядке: \(x > 2\).

   Кроме того, по определению логарифма, \(x > 0\). Условие \(x > 2\) уже включает \(x > 0\).

   Решение: \(x > 2\). На числовой прямой это интервал \((2; \infty)\). Это соответствует решению 3.

4. Г) \((x-1)(x-2) < 0\)

   Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \((x-1)(x-2) = 0\) равны \(x=1\) и \(x=2\). Парабола \(y = (x-1)(x-2)\) ветвями вверх.

   Неравенство \((x-1)(x-2) < 0\) выполняется между корнями: \(1 < x < 2\).

   Решение: \(1 < x < 2\). На числовой прямой это интервал \((1; 2)\). Это соответствует решению 4.

Ответ: А - 1, Б - 2, В - 3, Г - 4