24.9. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

1. A) \(4^{-x+1} < \frac{1}{4}\)

   Перепишем неравенство: \(4^{-x+1} < 4^{-1}\).

   Так как основание степени \(4 > 1\), то показатели степени сравниваются в том же порядке: \(-x+1 < -1\).

   \(-x < -2\) => \(x > 2\).

   Решение: \(x > 2\). Это соответствует решению 2.

2. Б) \(\frac{(x-5)^2}{x-4} < 0\)

   Так как \((x-5)^2 \ge 0\), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы \(x-4 < 0\) и \((x-5)^2
   e 0\).

   \(x-4 < 0 \rightarrow x < 4\).

   \((x-5)^2
   e 0 \rightarrow x
   e 5\). Условие \(x < 4\) уже исключает \(x=5\).

   Решение: \(x < 4\). На числовой прямой это интервал \((-\infty; 4)\). Это соответствует решению 1.

3. В) \(\log_4 x > 1\)

   Перепишем неравенство: \(\log_4 x > \log_4 4\).

   Так как основание логарифма \(4 > 1\), то аргументы логарифма сравниваются в том же порядке: \(x > 4\).

   Кроме того, по определению логарифма, \(x > 0\). Условие \(x > 4\) уже включает \(x > 0\).

   Решение: \(x > 4\). На числовой прямой это интервал \((4; \infty)\). Это соответствует решению 3.

4. Г) \((x-4)(x-2) < 0\)

   Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \((x-4)(x-2) = 0\) равны \(x=2\) и \(x=4\). Парабола \(y = (x-4)(x-2)\) ветвями вверх.

   Неравенство \((x-4)(x-2) < 0\) выполняется между корнями: \(2 < x < 4\).

   Решение: \(2 < x < 4\). На числовой прямой это интервал \((2; 4)\). Это соответствует решению 4.

Ответ: А - 2, Б - 1, В - 3, Г - 4