24. Используя признаки делимости и утверждения о делимости суммы и произведения, докажите, что: а) 234 + 6892 делится на 2; б) 2416 + 76528 делятся на 4; г) 789 + 462 делится на 3; е) 2345 · 308 делится на 4; ж) 3216 · 5684 делится на 3; з) 563478 · 508 делится на 9.

1. \(234\) и \(6892\) — чётные числа, поэтому их сумма делится на 2: \(234+6892=7126\).

2. \(2416\) и \(76528\) делятся на 4, так как на 4 делятся их последние две цифры: \(16\) и \(28\). Следовательно, сумма делится на 4: \(2416+76528=78944\).

3. Сумма цифр числа \(789\) равна \(24\), а числа \(462\) — \(12\). Оба числа делятся на 3, значит, их сумма делится на 3: \(789+462=1251\).

4. \(308\) делится на 4, так как его последние две цифры образуют число \(08\), делящееся на 4. Поэтому произведение \(2345\cdot308\) делится на 4.

5. Сумма цифр числа \(3216\) равна \(12\), а числа \(5684\) — \(23\). Число \(3216\) делится на 3, поэтому произведение \(3216\cdot5684\) делится на 3.

6. Сумма цифр числа \(563478\) равна \(33\), поэтому оно не делится на 9. Но число \(508\) не делится на 9. Следовательно, данное утверждение неверно: произведение \(563478\cdot508\) на 9 не делится.

Ответ: первые пять утверждений доказаны; последнее утверждение ошибочно.