24. Тип 24 № 311241 В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и COD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Решение:

Дано: Окружность с центром О. Хорды AB и CD. \( \angle AOB = \angle COD \). OK \(\perp\) AB, OL \(\perp\) CD. OK и OL — перпендикуляры.

Доказать: OK = OL.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \).
2. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) равны по условию.
3. Стороны OA, OB, OC, OD являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB = OC = OD \) (как радиусы).
4. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle COD \) (по двум сторонам и углу между ними: \( OA=OC, OB=OD \) и \( \angle AOB = \angle COD \)).
5. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Значит, хорды AB и CD равны: \( AB = CD \).
6. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle OKA \) и \( \triangle OLC \). (Можно также рассмотреть \( \triangle OKB \) и \( \triangle OLD \)).
7. У них \( OA = OC \) (радиусы).
8. \( \angle AKO = \angle CLO = 90^{\circ} \) (по построению перпендикуляров).
9. Так как \( AB = CD \), то \( AK = \frac{1}{2} AB \) и \( CL = \frac{1}{2} CD \) (перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам). Следовательно, \( AK = CL \).
10. Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника \( \triangle OKA \) и \( \triangle OLC \) с равным катетом \( AK=CL \) и равным гипотенузой \( OA=OC \).
11. По двум катетам (или катету и гипотенузе) прямоугольные треугольники равны: \( \triangle OKA = \triangle OLC \).
12. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Значит, катеты OK и OL равны: \( OK = OL \).

Что и требовалось доказать.