24. Точка M — середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а MC = MD. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Пусть основания трапеции — \(AD\parallel BC\). Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную основаниям, и обозначим её пересечения с боковой стороной \(CD\) и высотой из точки \(B\) соответственно.

Так как \(M\) — середина боковой стороны \(AB\), расстояние от \(M\) до основания \(AD\) равно половине высоты трапеции.

Из условия \(MC=MD\) следует, что точка \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \(CD\). Следовательно, проекция точки \(M\) на основания является серединой отрезка, соединяющего соответствующие проекции точек \(C\) и \(D\).

Но из свойства средней линии трапеции эта проекция совпадает с проекцией середины боковой стороны \(AB\). Поэтому соответствующие боковые стороны имеют одинаковое горизонтальное смещение, и одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Следовательно, один из углов трапеции прямой. Значит, трапеция \(ABCD\) является прямоугольной.

Ответ: трапеция ABCD прямоугольная.