22. Постройте график функции y = |x|x+2|x| - 3x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = |x|x+2|x| - 3x \). Раскроем модуль, учитывая знаки \( x \) и \( |x| \).

Случай 1: \( x \ge 0 \).

В этом случае \( |x| = x \).

\[ y = x(x + 2x) - 3x \]

\[ y = x(3x) - 3x \]

\[ y = 3x^2 - 3x \]

Это парабола. Найдем её вершину: \( x_v = -\frac{-3}{2 \u0007 3} = \frac{3}{6} = 0.5 \).

\( y_v = 3(0.5)^2 - 3(0.5) = 3(0.25) - 1.5 = 0.75 - 1.5 = -0.75 \).

При \( x=0 \), \( y=0 \).

При \( x=1 \), \( y = 3(1)^2 - 3(1) = 0 \).

Случай 2: \( x < 0 \).

В этом случае \( |x| = -x \).

\[ y = (-x)(-x + 2(-x)) - 3x \]

\[ y = (-x)(-x - 2x) - 3x \]

\[ y = (-x)(-3x) - 3x \]

\[ y = 3x^2 - 3x \]

Этот же вид параболы, но только для \( x < 0 \).

Найдем значение функции при \( x = -0.5 \) (вершина для этого участка):

\[ y = 3(-0.5)^2 - 3(-0.5) = 3(0.25) + 1.5 = 0.75 + 1.5 = 2.25 \]

При \( x = -1 \), \( y = 3(-1)^2 - 3(-1) = 3 + 3 = 6 \).

Построим график:

Для \( x \cdot 0 \), график — часть параболы \( y = 3x^2 - 3x \) с вершиной в точке \( (0.5, -0.75) \) и ветвями вверх.

Для \( x < 0 \), график — часть той же параболы \( y = 3x^2 - 3x \) с вершиной в точке \( (-0.5, 2.25) \) и ветвями вверх.

Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках.

На графике видно, что:

• Если \( m < -0.75 \), прямая не пересекает график.
• Если \( m = -0.75 \), прямая касается графика в одной точке (вершине).
• Если \( -0.75 < m < 0 \), прямая пересекает график в двух точках (одна слева от \( x=0.5 \) и одна справа).
• Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в двух точках ( \( x=0 \) и \( x=1 \)).
• Если \( 0 < m < 2.25 \), прямая пересекает график в двух точках (одна слева от \( x=0 \) и одна справа от \( x=1 \)).
• Если \( m = 2.25 \), прямая пересекает график в трех точках (одна слева от \( x=0 \) и две справа от \( x=1 \), при \( x = -0.5 \) и \( x=1.5 \)).
• Если \( m > 2.25 \), прямая пересекает график в двух точках.

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки, если \( m < -0.75 \) (участок справа), \( -0.75 < m < 0 \) (два участка), \( m = 0 \) (два участка), \( 0 < m < 2.25 \) (два участка), \( m > 2.25 \) (два участка).

Проанализируем график более детально. На самом деле, функция кусочно-линейная, а не параболическая.

Перепишем функцию, раскрывая модули:

1. \( x \cdot 0 \): \( |x| = x \). \( y = x(x + 2x) - 3x = x(3x) - 3x = 3x^2 - 3x \). Это верно для \( x \cdot 0 \).

2. \( x < 0 \): \( |x| = -x \). \( y = (-x)(-x + 2(-x)) - 3x = (-x)(-3x) - 3x = 3x^2 - 3x \).

Функция \( y = 3x^2 - 3x \) для всех \( x \). Это парабола с вершиной \( x_v = 0.5 \), \( y_v = -0.75 \).

Однако, в условии написано \( y = |x|x+2|x| - 3x \). Модуль стоит перед \( x \) и перед \( |x| \).

Рассмотрим случай \( x \cdot 0 \): \( |x| = x \). \( y = x(x+2x) - 3x = x(3x) - 3x = 3x^2 - 3x \).

Рассмотрим случай \( x < 0 \): \( |x| = -x \). \( y = (-x)(-x + 2(-x)) - 3x = (-x)(-x - 2x) - 3x = (-x)(-3x) - 3x = 3x^2 - 3x \).

Функция действительно \( y = 3x^2 - 3x \) для всех \( x \).

Чтобы прямая \( y=m \) имела с параболой \( y = 3x^2 - 3x \) ровно две общие точки, \( m \) должно быть больше значения вершины.

Вершина параболы \( y = 3x^2 - 3x \) находится в точке \( x = \frac{-(-3)}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = 0.5 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y = 3(0.5)^2 - 3(0.5) = 3(0.25) - 1.5 = 0.75 - 1.5 = -0.75 \).

Прямая \( y = m \) имеет с параболой ровно две общие точки, если \( m > -0.75 \).

Ответ: \( m > -0.75 \)