24. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Предмет: Геометрия

Класс: 8

Решение:

• Условие: Точки A, C, O (центр описанной окружности) и I (центр вписанной окружности) лежат на одной окружности.
• Свойства:
• Центр описанной окружности (O) равноудален от вершин треугольника.
• Центр вписанной окружности (I) равноудален от сторон треугольника.
• Если точки A, C, O, I лежат на одной окружности, то эта окружность является окружностью Эйлера для треугольника ABC.
• Теорема Эйлера: Для остроугольного треугольника, если центр вписанной окружности (I) лежит на окружности Эйлера, то треугольник равнобедренный с углом при вершине, равным 60°.
• Применение к задаче: Так как точки A, C, O, I лежат на одной окружности, то эта окружность является окружностью Эйлера. По условию, треугольник ABC остроугольный. Следовательно, угол ABC равен 60°.

Доказано.