24. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

Доказательство:

1. Дан параллелограмм ABCD. BH — высота к стороне AD, значит, \( \angle BHA = 90^{\circ} \). BE — высота к стороне CD, значит, \( \angle BEC = 90^{\circ} \).

2. По условию BH = BE.

3. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle ABH \) и \( \triangle CBE \).

4. У них гипотенуза AB = CD (противоположные стороны параллелограмма).

5. У них катеты BH = BE (по условию).

6. По двум катетам (или по гипотенузе и катету) треугольники \( \triangle ABH \) и \( \triangle CBE \) равны.

7. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны. Значит, \( \angle BAH = \angle BCE \).

8. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть \( \angle BAD = \angle BCD \) и \( \angle ABC = \angle ADC \). Также, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов: \( \angle BAD + \angle ADC = 180^{\circ} \).

9. Углы \( \angle BAD \) и \( \angle BCD \) являются противоположными углами параллелограмма.

10. В параллелограмме, если высоты, проведенные к двум соседним сторонам, равны, то этот параллелограмм является ромбом. Также, если \( \angle BAH = \angle BCE \), а \( \angle BAD = \angle BCD \), то это означает, что \( \angle ADC = \angle ABC \).

11. В параллелограмме ABCD, если равны высоты, проведенные к сторонам AD и CD, то стороны AD и CD равны (т.к. их площади равны: \( S_{ABCD} = AD \cdot BH = CD \cdot BE \) и \( BH=BE \) ⇒ \( AD=CD \)).

12. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, ABCD — ромб.

Доказано.