241. Точки M и K принадлежат соответственно боковым сторонам AB и BC равнобедренного треугольника ABC, AM = CK. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

Так как AB и BC — боковые стороны равнобедренного треугольника, его ось симметрии проходит через B и середину AC. Отражение относительно этой оси переводит A в C, а сторону AB — в BC.

При этом точка M переходит в точку на BC, удалённую от C на AM. Поскольку AM = CK, эта точка совпадает с K. Значит, отрезок AK переходит в CM, а их точка пересечения O остаётся на оси симметрии.

Любая точка оси симметрии равноудалена от A и C, поэтому OA = OC. Следовательно, треугольник AOC равнобедренный.

Ответ: OA = OC.