243. Найти остаток: 1) числа 39⁴⁶ на 5; 2) числа 64²⁹ на 7; 3) числа 103¹⁵ на 17; 4) числа 10¹⁰ + 28³ − 1 на 3; 5) числа 7 · 10³⁰ на 9.

1. При делении 39 на 5 остаток 4, поэтому достаточно найти остаток от деления 4⁴⁶ на 5. Так как 4² ≡ 1 (mod 5), то 4⁴⁶ = (4²)²³ ≡ 1.

2. 64 = 7 · 9 + 1, значит, 64²⁹ ≡ 1²⁹ ≡ 1 (mod 7).

3. 103 = 17 · 6 + 1, значит, 103¹⁵ ≡ 1¹⁵ ≡ 1 (mod 17).

4. По модулю 3 имеем 10 ≡ 1 и 28 ≡ 1. Поэтому 10¹⁰ + 28³ − 1 ≡ 1 + 1 − 1 ≡ 1 (mod 3).

5. 10 ≡ 1 (mod 9), поэтому 7 · 10³⁰ ≡ 7 · 1³⁰ ≡ 7 (mod 9).

Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 7.