25. Докажите, что медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC \) — боковые стороны, \( AC \) — основание. Проведем медианы \( AM \) к стороне \( BC \) и \( CN \) к стороне \( AB \).

\( AM \) — медиана, значит, \( M \) — середина \( BC \), \( CM = MB = \frac{1}{2} BC \).

\( CN \) — медиана, значит, \( N \) — середина \( AB \), \( AN = NB = \frac{1}{2} AB \).

Так как \( AB = BC \), то \( AN = NB = CM = MB \).

Рассмотрим треугольники \( Δ ABM \) и \( Δ CBN \).

1. \( AB = BC \) (по условию, стороны равнобедренного треугольника).

2. \( Α B = Α C \) (так как \( NB = \frac{1}{2} AB \) и \( MB = \frac{1}{2} BC \), а \( AB=BC \) ).

3. \( Α Β Α = Α C Β \) (общий угол \( Α Β Α \) для \( Α B M \) и \( Α C B N \)).

По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( Α ABM = Α CBN \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AM = CN \).

Таким образом, медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Доказано.