26. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах А и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если угол В равен В.

Решение:

Пусть \( Α \), \( Β \), \( Γ \) — углы треугольника \( ABC \) при вершинах \( A, B, C \) соответственно.

Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 180° - Α \).

Биссектриса внешнего угла при вершине \( A \) делит его пополам, поэтому угол между стороной \( AC \) и биссектрисой равен \( \frac{180° - Α}{2} = 90° - \frac{Α}{2} \).

Аналогично, внешний угол при вершине \( C \) равен \( 180° - Γ \).

Угол между стороной \( AC \) и биссектрисой внешнего угла при вершине \( C \) равен \( \frac{180° - Γ}{2} = 90° - \frac{Γ}{2} \).

Рассмотрим треугольник \( AOC \). Сумма углов в \( Α AOC \) равна 180°.

\( Α AOC = 180° - ( Α CAO + Α C AO ) \).

Здесь \( Α CAO \) — это угол между стороной \( AC \) и биссектрисой внешнего угла при вершине \( A \), а \( Α C AO \) — это угол между стороной \( AC \) и биссектрисой внешнего угла при вершине \( C \).

\( Α CAO = 90° - \frac{Α}{2} \)

\( Α C AO = 90° - \frac{Γ}{2} \)

\( Α AOC = 180° - ( 90° - \frac{Α}{2} + 90° - \frac{Γ}{2} ) \)

\( Α AOC = 180° - ( 180° - \frac{Α}{2} - \frac{Γ}{2} ) \)

\( Α AOC = \frac{Α}{2} + \frac{Γ}{2} = \frac{Α + Γ}{2} \).

В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна 180°: \( Α + Β + Γ = 180° \).

Следовательно, \( Α + Γ = 180° - Β \).

Подставим это в формулу для \( Α AOC \):

\( Α AOC = \frac{180° - Β}{2} \)

\( Α AOC = 90° - \frac{Β}{2} \).

Ответ: Угол АОС равен \( 90° - \frac{Β}{2} \).