25. Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 3√6, 4√7 и 4 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает отрезок AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному, причём ∠KCA = ∠BAC. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. **1. Подобие треугольников:** По условию, треугольник KAC подобен треугольнику ABC, при этом ∠KCA = ∠BAC. Это означает, что углы в треугольниках равны: ∠KCA = ∠BAC, ∠CAK = ∠ABC, и ∠AKC = ∠BCA. **2. Соотношения сторон:** Поскольку треугольники KAC и ABC подобны, их стороны пропорциональны. Отношение соответственных сторон равны. Мы имеем AC = 3√6, AB = 4√7, и BC = 4. **3. Используем теорему косинусов в треугольнике ABC:** Чтобы найти косинус угла ∠BAC, который равен ∠KCA, используем теорему косинусов для треугольника ABC: (BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(∠BAC)) Подставляем известные значения: (4^2 = (4√7)^2 + (3√6)^2 - 2 * (4√7) * (3√6) * cos(∠BAC)) (16 = 112 + 54 - 24√42 * cos(∠BAC)) (16 = 166 - 24√42 * cos(∠BAC)) (-150 = -24√42 * cos(∠BAC)) (cos(∠BAC) = \frac{150}{24√42} = \frac{25}{4√42} = \frac{25√42}{4*42} = \frac{25√42}{168}) **4. Связь между углами AKC и ACB:** Из подобия треугольников мы знаем, что ∠AKC = ∠BCA. Обозначим ∠BAC = α , ∠BCA = γ, и ∠ABC = β. По условию задачи, ∠KCA= ∠BAC = α. **5. Используем теорему косинусов для треугольника ABC еще раз для нахождения косинуса угла BCA (γ):** (AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(∠BCA)) Подставляем значения: ((4√7)^2 = (3√6)^2 + 4^2 - 2 * (3√6) * 4 * cos(∠BCA)) (112 = 54 + 16 - 24√6 * cos(∠BCA)) (112 = 70 - 24√6 * cos(∠BCA)) (42 = -24√6 * cos(∠BCA)) (cos(∠BCA) = - \frac{42}{24√6} = - \frac{7}{4√6} = - \frac{7√6}{24}) Так как ∠AKC=∠BCA, то (cos(∠AKC) = - \frac{7√6}{24}) **6. Итог:** Косинус угла AKC равен (- \frac{7√6}{24}). Условие ∠KAC > 90° говорит о том, что угол ∠AKC должен быть тупым. **Ответ:** Косинус угла AKC равен (- \frac{7√6}{24}).