25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение:

Пусть дан равнобедренная трапеция ABCD, где \( AB = CD \) (боковые стороны), \( AD \) — большее основание, \( BC \) — меньшее основание. Окружность вписана, значит \( AD + BC = AB + CD = 2(AB) \).

Периметр \( P = AD + BC + 2AB = 100 \).

Так как \( AD + BC = 2AB \), то \( 2AB + 2AB = 100 \), откуда \( 4AB = 100 \), и \( AB = 25 \). Следовательно, \( AD + BC = 50 \).

Площадь трапеции \( S = \frac{AD + BC}{2} · h = 500 \). Подставим \( AD + BC = 50 \): \( \frac{50}{2} · h = 500 \), \( 25h = 500 \), \( h = 20 \).

Высота трапеции \( h = 20 \).

Проведем высоту из вершины \( B \) на основание \( AD \) — точка \( E \). В прямоугольном треугольнике \( ABE \) гипотенуза \( AB = 25 \), катет \( BE = h = 20 \). Найдем \( AE \): \( AE^2 = AB^2 - BE^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225 \). \( AE = √{225} = 15 \).

Найдем основания: \( AD = AE + EC' \) (где \( C' \) — проекция \( C \) на \( AD \)). Так как трапеция равнобедренная, \( AE = C'D = 15 \). Тогда \( AD = AE + C'D + BC = 15 + 15 + BC = 30 + BC \). Мы знаем, что \( AD + BC = 50 \), значит \( (30 + BC) + BC = 50 \), \( 30 + 2BC = 50 \), \( 2BC = 20 \), \( BC = 10 \). Тогда \( AD = 50 - 10 = 40 \).

Основания трапеции: \( BC = 10 \), \( AD = 40 \).

Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим подобные треугольники \( △ BOC \) и \( △ DOA \). Отношение их высот относится как отношение оснований: \( \frac{h_{BOC}}{h_{DOA}} = \frac{BC}{AD} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \).

Высота трапеции \( h = h_{BOC} + h_{DOA} = 20 \).

Пусть \( h_{BOC} = x \), тогда \( h_{DOA} = 4x \).

\( x + 4x = 20 \) \( → \) \( 5x = 20 \) \( → \) \( x = 4 \).

Высота, проведенная из \( O \) к меньшему основанию \( BC \), равна \( h_{BOC} = 4 \).

Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно высоте \( h_{BOC} \).

Ответ: 4