257. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC
• \[ \angle C = 90^\circ \]
• Внешний угол при вершине A = 120°
• \[ AC + AB = 18 \text{ см} \]

Найти:

• AC, AB

Решение:

1. Внешний угол треугольника смежен с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов равна 180°.
2. Внутренний угол при вершине A равен:
   \[ \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
3. Так как треугольник прямоугольный, то
   \[ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
4. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет BC противолежит углу B (30°), а гипотенуза AB. Значит,
   \[ BC = \frac{1}{2} AB \]
5. Катет AC противолежит углу B (30°), значит,
   \[ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} AB \]
6. Подставим выражение для AC в данное условие:
   \[ \frac{\sqrt{3}}{2} AB + AB = 18 \]
7. Вынесем AB за скобки:
   \[ AB \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 18 \]
8. Приведем к общему знаменателю в скобках:
   \[ AB \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right) = 18 \]
9. Найдем AB:
   \[ AB = 18 × \frac{2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{36}{\sqrt{3} + 2} \]
10. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (\[ 2 - \sqrt{3} \]):
    \[ AB = \frac{36(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{36(2 - \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{36(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 36(2 - \sqrt{3}) \]
11. \[ AB = 72 - 36\sqrt{3} \text{ см} \]
12. Теперь найдем AC, используя условие
    \[ AC = 18 - AB \]:
    \[ AC = 18 - (72 - 36\sqrt{3}) = 18 - 72 + 36\sqrt{3} = 36\sqrt{3} - 54 \text{ см} \]
13. Проверим, что AC =
    \[ \frac{\sqrt{3}}{2} AB \]:
    \[ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} (72 - 36\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} - \frac{36 × 3}{2} = 36\sqrt{3} - 54 \]
14. Вычисления верны.

Ответ:

• \[ AB = 72 - 36\sqrt{3} \text{ см} \]
• \[ AC = 36\sqrt{3} - 54 \text{ см} \]