263. Высоты, проведённые к боковым сторонам

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = BC)
• Проведены высоты из вершин основания: AH ‪‪\(\perp\)\(\text{ }\)BC, CF ‪‪\(\perp\)\(\text{ }\)AB

Доказать:

• AH = CF

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABH и CBF.
2. \[ AB = CB \] (по условию, так как треугольник равнобедренный).
3. \[ \angle AHB = \angle CFB = 90^° \] (по определению высоты).
4. \[ \angle BAC = \angle BCA \] (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
5. Поэтому треугольники ABH и CBF равны по гипотенузе и острому углу (II признак равенства прямоугольных треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \[ AH = CF \].

Что и требовалось доказать.