258. Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите АМ, если АВ = 12 см.

Решение задачи 258

Треугольник \( ABC \) — равносторонний, значит, все его стороны равны, и все углы равны \( 60^{\circ} \).

По условию \( AB = 12 \) см, значит, \( BC = AC = AB = 12 \) см.

Точка \( D \) — середина стороны \( BC \), следовательно, \( BD = DC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.

\( DM \) — перпендикуляр к \( AC \), значит, \( \angle DMA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( DMC \). \( \angle C = 60^{\circ} \) (угол равностороннего треугольника).

В прямоугольном треугольнике \( DMC \):

• Катет \( DC = 6 \) см.
• Угол \( \angle C = 60^{\circ} \).
• Найдём длину отрезка \( MC \), который является проекцией \( DC \) на \( AC \). Используем косинус угла \( C \):

\[ MC = DC \cdot \cos(60^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \] см.

Теперь найдём \( AM \). Точка \( M \) лежит на стороне \( AC \). Длина \( AM \) равна длине \( AC \) минус длина \( MC \).

\[ AM = AC - MC \]

\[ AM = 12 - 3 = 9 \] см.

Ответ: 9 см.