26 Тип 20 № 338829 i Решите неравенство (x-2)² <√√3(x-2).

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить ноль в правой части:

• \[ (x-2)^2 - \sqrt{3}(x-2) < 0 \]

Теперь вынесем общий множитель
(x-2)
за скобки:

• \[ (x-2) \left( (x-2) - \sqrt{3} \right) < 0 \]
• \[ (x-2)(x - 2 - \sqrt{3}) < 0 \]

У нас получилось произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Это возможно в двух случаях:

1. Первый множитель положительный, а второй отрицательный.
2. Первый множитель отрицательный, а второй положительный.

Найдем корни уравнения
(x-2)\(x - 2 - \sqrt{3}\) = 0
:

• \[ x-2 = 0 \implies x = 2 \]
• \[ x - 2 - \sqrt{3} = 0 \implies x = 2 + \sqrt{3} \]

Теперь отметим эти корни на числовой оси и определим знаки произведения на интервалах:

Числа:
2
и
2 + \(\sqrt{3}\)
. Так как
\(\sqrt{3}\) \(\approx\) 1.732
, то
2 + \(\sqrt{3}\) \(\approx\) 3.732
.

Интервалы:

• 
  \(-\infty, 2\)
  
• 
  \(2, 2 + \sqrt{3}\)
  
• 
  \(2 + \sqrt{3}, \infty\)
  

Подставим тестовые значения:

• Для интервала
  \(-\infty, 2\)
  , возьмем
  x=0
  :
  (0-2)\(0 - 2 - \sqrt{3}\) = (-2)\(-2 - \sqrt{3}\) = 4 + 2\(\sqrt{3}\) > 0
  (плюс).
• Для интервала
  \(2, 2 + \sqrt{3}\)
  , возьмем
  x=3
  :
  (3-2)\(3 - 2 - \sqrt{3}\) = (1)\(1 - \sqrt{3}\)
  . Так как
  \(\sqrt{3}\) > 1
  , то
  1 - \(\sqrt{3}\) < 0
  . Получаем:
  1 * (отрицательное число) < 0
  (минус).
• Для интервала
  \(2 + \sqrt{3}, \infty\)
  , возьмем
  x=4
  :
  (4-2)\(4 - 2 - \sqrt{3}\) = (2)\(2 - \sqrt{3}\)
  . Так как
  2 > \(\sqrt{3}\)
  , то
  2 - \(\sqrt{3}\) > 0
  . Получаем:
  2 * (положительное число) > 0
  (плюс).

Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть отрицательным. Это соответствует интервалу
\(2, 2 + \sqrt{3}\)
.

Ответ:
\(2, 2 + \sqrt{3}\)