27 Тип 20 № 338980 i Решите уравнение 2x² + 5x + 56 = (x-4)².

Решение:

Для начала раскроем скобки в правой части уравнения:

• \[ (x-4)^2 = x^2 - 2 · x · 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]

Теперь перепишем уравнение с раскрытыми скобками:

• \[ 2x^2 + 5x + 56 = x^2 - 8x + 16 \]

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде
ax^2 + bx + c = 0
:

• \[ 2x^2 - x^2 + 5x + 8x + 56 - 16 = 0 \]
• \[ x^2 + 13x + 40 = 0 \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

С помощью дискриминанта:

Дискриминант
D
вычисляется по формуле
D = b^2 - 4ac
:

• \[ D = 13^2 - 4 · 1 · 40 \]
• \[ D = 169 - 160 \]
• \[ D = 9 \]

Так как
D > 0
, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
:

• \[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-13 + 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
• \[ x_2 = \frac{-13 - \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-13 - 3}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

С помощью теоремы Виета:

Для уравнения
x^2 + 13x + 40 = 0
:

• Сумма корней
  x_1 + x_2 = -13
  
• Произведение корней
  x_1 · x_2 = 40
  

Подбираем два числа, которые в сумме дают
-13
, а в произведении
40
. Эти числа
-5
и
-8
.

Проверка:
-5 + (-8) = -13
и
(-5) · (-8) = 40
.

Ответ:
-5
,
-8