27 Тип 20 № 338980 i Решите уравнение 2x² + 5x + 56 = (x-4)².

Решение:

Для начала раскроем скобки в правой части уравнения:

• \[ (x-4)^2 = x^2 - 2 · x · 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \]

Теперь перепишем уравнение с раскрытыми скобками:

• \[ 2x^2 + 5x + 56 = x^2 - 8x + 16 \]

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде ax^2 + bx + c = 0 :

• \[ 2x^2 - x^2 + 5x + 8x + 56 - 16 = 0 \]
• \[ x^2 + 13x + 40 = 0 \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

С помощью дискриминанта:

Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac :

• \[ D = 13^2 - 4 · 1 · 40 \]
• \[ D = 169 - 160 \]
• \[ D = 9 \]

Так как D > 0 , уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле x = \(\frac\){-b \(\pm\) \(\sqrt{D}\)}{2a} :

• \[ x_1 = \frac{-13 + \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-13 + 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
• \[ x_2 = \frac{-13 - \sqrt{9}}{2 · 1} = \frac{-13 - 3}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

С помощью теоремы Виета:

Для уравнения x^2 + 13x + 40 = 0 :

• Сумма корней x_1 + x_2 = -13
• Произведение корней x_1 · x_2 = 40

Подбираем два числа, которые в сумме дают -13 , а в произведении 40 . Эти числа -5 и -8 .

Проверка: -5 + (-8) = -13 и (-5) · (-8) = 40 .

Ответ: -5 , -8