27. На прямой отмечено несколько точек так, что среди расстояний между ними встречаются 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см, 6 см, 7 см и 8 см. Какое самое маленькое число точек может быть отмечено?

Решение:

Нам нужно найти минимальное количество точек, чтобы получить все указанные расстояния от 1 до 8 см.

Пусть точки отмечены на прямой как \(P_1, P_2, …, P_n\).

Для получения максимального расстояния \(d_{max}\) между \(n\) точками, нам понадобится \(n-1\) отрезков, если точки расположены последовательно. Однако, чтобы получить все возможные расстояния, точки должны быть расположены таким образом, чтобы разница между любыми двумя точками давала одно из искомых расстояний.

Рассмотрим минимальное количество точек.

Если у нас \(n=4\) точки, то максимальное расстояние будет \(P_4 - P_1\). Мы можем получить \( _2^4 = 6 \) расстояний. Этого недостаточно, так как нам нужно 8 расстояний.

Если у нас \(n=5\) точек:

Размещаем точки на прямой. Для получения расстояния \(d\), нам нужно, чтобы разность координат двух точек была равна \(d\).

Чтобы получить все расстояния от 1 до 8, мы можем расположить точки следующим образом. Пусть первая точка \(P_1 = 0\).

Для получения всех расстояний, мы можем построить