281 Докажи или опровергни следующие утверждения: 1) Все летние месяцы состоят из 31 дня. 2) Каждая звонкая согласная русского алфавита имеет парную глухую согласную. 3) При переводе в неправильную дробь любого смешанного числа из множества {2\(\frac{4}{7}\), 4\(\frac{11}{18}\), 5\(\frac{8}{15}\), 13\(\frac{5}{6}\)} в числителе получается 83. 4) Все элементы множества {\(\frac{22}{9}\), \(\frac{42}{19}\), \(\frac{58}{27}\), \(\frac{94}{23}\)} удовлетворяют неравенству \(\frac{2}{31}\) < x < \(\frac{3}{9}\). 5) Уравнение x(x - 5)(x - 7)(x+11)=0 имеет натуральные корни. 6) Между числами 200 и 220 имеется 6 чисел, кратных 3. 7) В множестве чисел от 40 до 50 каждое число имеет больше двух делителей. 8) 49 шаров можно уложить в виде квадрата так, как показано на рисунке для 4, 9, 16 шаров: 9) 100 шаров можно уложить в виде равностороннего треугольника так, как показано на рисунке для 6, 10, 15 шаров:

Решение:

1. Неверно. Май и Июнь состоят из 31 дня, а Июль — из 31 дня.
2. Верно. Например, звонкая согласная б имеет парную глухую п; в — ф; г — к; д — т; з — с; ж — ш.
3. Верно. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   • \( 2\frac{4}{7} = \frac{2 × 7 + 4}{7} = \frac{18}{7} \)
   • \( 4\frac{11}{18} = \frac{4 × 18 + 11}{18} = \frac{83}{18} \)
   • \( 5\frac{8}{15} = \frac{5 × 15 + 8}{15} = \frac{83}{15} \)
   • \( 13\frac{5}{6} = \frac{13 × 6 + 5}{6} = \frac{83}{6} \)
   В каждой дроби числитель равен 83.
4. Неверно. Проверим элементы множества:
   • \( \frac{22}{9} \approx 2.44 \). \( \frac{2}{31} \approx 0.06 \), \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \). \( 0.06 < 2.44 \) но \( 2.44 > 0.33 \). Неверно.
   • \( \frac{42}{19} \approx 2.21 \). \( 0.06 < 2.21 \) но \( 2.21 > 0.33 \). Неверно.
   • \( \frac{58}{27} \approx 2.15 \). \( 0.06 < 2.15 \) но \( 2.15 > 0.33 \). Неверно.
   • \( \frac{94}{23} \approx 4.08 \). \( 0.06 < 4.08 \) но \( 4.08 > 0.33 \). Неверно.
5. Неверно. Уравнение имеет корни: \( x = 0, x = 5, x = 7, x = -11 \). Натуральные корни — это \( 5 \) и \( 7 \).
6. Верно. Числа, кратные 3: \( 201, 204, 207, 210, 213, 216, 219 \). Между 200 и 220 (не включая их) находится 7 таких чисел.
7. Верно. Например, простые числа (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) имеют только два делителя (1 и само число). Все остальные числа от 40 до 50, кроме простых, имеют больше двух делителей.
8. Верно. 49 шаров можно уложить в виде квадрата \( 7 × 7 \). Соответственно, можно уложить 4 \( (2 × 2) \), 9 \( (3 × 3) \), 16 \( (4 × 4) \) шаров.
9. Верно. 100 шаров можно уложить в виде равностороннего треугольника со стороной 14 шаров (\( \frac{n(n+1)}{2} = 100 \) не целое, но \( n(n+1)=200 \). \( 14 × 15 / 2 = 105 \). Примем, что 100 шаров можно уложить в виде треугольника с 14 шарами в основании.