29. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч., а против течения - за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывёт плот?

Решение:

Обозначим расстояние как \( S \), скорость теплохода в стоячей воде как \( v_т \), а скорость течения реки как \( v_р \).

Скорость теплохода по течению: \( v_т + v_р \).

Скорость теплохода против течения: \( v_т - v_р \).

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_п = v_р \).

Из условий задачи имеем:

\( S = (v_т + v_р) \times 2 \) (1)

\( S = (v_т - v_р) \times 3 \) (2)

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как \( S \) — одно и то же расстояние:

\( (v_т + v_р) \times 2 = (v_т - v_р) \times 3 \)

\( 2v_т + 2v_р = 3v_т - 3v_р \)

Перенесём члены с \( v_т \) в правую часть, а с \( v_р \) — в левую:

\( 2v_р + 3v_р = 3v_т - 2v_т \)

\( 5v_р = v_т \)

Значит, скорость теплохода в стоячей воде в 5 раз больше скорости течения реки.

Теперь найдём, за сколько часов плот проплывёт это же расстояние \( S \). Время \( t_п \) равно \( S \) делённому на скорость плота \( v_п \) (которая равна \( v_р \)).

\( t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{v_р} \)

Подставим \( S \) из уравнения (1):

\( t_п = \frac{(v_т + v_р) \times 2}{v_р} \)

Подставим \( v_т = 5v_р \):

\( t_п = \frac{(5v_р + v_р) \times 2}{v_р} = \frac{6v_р \times 2}{v_р} = \frac{12v_р}{v_р} = 12 \) часов.

Ответ: 12 часов.