290. Докажите, что если сумма десяти [текст обрезан], то сумма их кубов также делится на 6.

Условие обрезано: не видна полностью гипотеза о десяти числах. Если в ней сказано, что сумма целых чисел делится на 6, доказательство такое.

Для любого целого числа \(n\) разность \(n^3-n=n(n-1)(n+1)\) делится на 6: среди трёх последовательных целых чисел одно делится на 3, а хотя бы одно — на 2. Поэтому \(n^3\equiv n\pmod 6\).

Складывая это равенство по всем десяти числам, получаем, что сумма их кубов сравнима с суммой самих чисел по модулю 6. Следовательно, если сумма чисел делится на 6, то и сумма их кубов делится на 6.

Для доказательства именно по исходному условию пришлите, пожалуйста, полный текст упражнения.