3. (1 балл) Найдите корень уравнения sin(x+π/4)=1/2.

Решение:

Данное уравнение:

\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \]

Мы знаем, что \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) при \( \alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( \alpha = \\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Приравниваем аргумент синуса к этим значениям:

1. \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)


2. \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

Решаем первое уравнение:

\[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]\[ x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \]\[ x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \]

Решаем второе уравнение:

\[ x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]\[ x = \frac{10\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \]\[ x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \]

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.