5. (1 балл) ∫₀³ (x² + 4x - 1)dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_0^3 (x^2 + 4x - 1) dx \) сначала найдём первообразную функции \( f(x) = x^2 + 4x - 1 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилам интегрирования:

• Интеграл от \( x^2 \) равен \( \frac{x^3}{3} \).
• Интеграл от \( 4x \) равен \( 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \).
• Интеграл от \( -1 \) равен \( -x \).

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_0^3 (x^2 + 4x - 1) dx = F(3) - F(0) \]

Вычисляем \( F(3) \):

\[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3 = \frac{27}{3} + 2(9) - 3 = 9 + 18 - 3 = 24 \]

Вычисляем \( F(0) \):

\[ F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0^2) - 0 = 0 \]

Теперь находим разность:

\[ F(3) - F(0) = 24 - 0 = 24 \]

Ответ: 24.