3. (1 балл) Решите уравнение: lg (x^2+3x) = 1.

Решение:

Запишем уравнение в виде:

\( \lg(x^2 + 3x) = 1 \)

По определению десятичного логарифма:

\( x^2 + 3x = 10^1 \)

\( x^2 + 3x = 10 \)

\( x^2 + 3x - 10 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Проверим область определения логарифма: \( x^2 + 3x > 0 \).

Для \( x = 2 \): \( 2^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10 > 0 \).

Для \( x = -5 \): \( (-5)^2 + 3(-5) = 25 - 15 = 10 > 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: x = 2, x = -5